Oyun şousunda siz üç bağlı qapı ilə üz-üzə durursunuz. Onlardan birinin arxasında maşın, digər ikisinin arxasında keçilər var. Siz bir qapı, məsələn birinci seçirsiniz. Ev sahibi hər qapının arxasında nə olduğunu bilir və ikinci qapılardan birini açaraq keçi göstərir. Siz qalmaq yoxsa digər qapıya keçmək istəyirsiniz?
Çoxu cavab verir ki, fərqi yoxdur—iki qapı, bir maşın, deməli 50-50. 1990-cı ilin sentyabrında Merilin vos Savant bu sualın cavabını yazdığında təxminən 10 min məktub aldı. Onlardan min qədəri PhD sahiblərindən gəldi və əksəriyyəti ona səhv etdiğini söylədi. Hətta məşhur riyaziyyatçı Paul Erdős bir dostun onun üzündə kompüter simullasiyası çalışana qədər inanmadı. Amma Merilin haqlı idi: qapıları dəyişsəniz, üç dəfədən iki dəfə maşını qazanırsınız.
Ev Sahibinin Davranışı Hər Şeydir
Ancaq bu 2/3 olan cavab bir fərziyyəni gizlədir—əslində ən maraqlı hissəsi budur. Ev sahibi 2/3 ehtimalını kəsdirir, amma onun davranışı fərqli olsa, o keçinin dəyəri tamam başqaya çıxır. Müxtəlif ev sahibi modellərini nəzərdən keçirməklə, ehtimallar necə dəyişə biləcəyini görürük.
Yoxlayan ev sahibi («Knowing Host»): Ev sahibi harada maşın olduğunu bilir və heç vaxt onu açmaz. Siz qapı 1-i seçirsiniz, o qapı 3-ü açaraq keçi göstərir. Bayes teoremindən istifadə edərək: qapı 1-in arxasında maşın olma ehtimalı 1/3, qapı 2-nin arxasında 2/3 olur. Dəyişmə çoxunuz qazandırır.
Təsadüfi qapı açan ev sahibi («Monty Fall»): Ev sahibi sadəcə təsadüfi qapı açaraq yaxşı şanslı olur ki, keçi olsun. Buradan nə nəticə çıxar? Kompüter simullasiyası göstərir ki, bu halda dəyişmə sizə 50 faizdən çox fayda vermir. Səbəb: maşın göstərilən qapı 2-nin arxasında olduqda, ev sahibi qapı 3-ü yalnız yarı vaxt seçir (çünki tahmin edir). Bu filtrasiya üstünlüyü yarısına salır.
Ev Sahibinin Qapı Seçimi Necə Dəyişdirir?
Tutaq ki, ev sahibi hər iki qapı keçi olduqda, qapı 3-ü q ehtimalı ilə açır (bəlkə kamera daha yaxşı açısı olduğuna görə). Sonra:
- Qapı 3 açılıbsa dəyişmə ilə qazanma: 1 / (1 + q)
- Qapı 2 açılıbsa dəyişmə ilə qazanma: 1 / (2 − q)
q = 0.5 dəyərini qoyun və standart 2/3 nəticəsini alırsınız. Ancaq ev sahibi qapı 3-ü həddən artıq sevirsə (məsələn q = 0.9), onu açaraq onun qapı 3-ə münasibəti barədə çox az şey öyrənirsiniz. Əksinə, qapı 2 açılması məcburiyyətə işarə edir və maşın demək olar ki, qapı 3-ün arxasındadır. Ən vacib nəticə: dəyişmə heç vaxt qalmaqdan pis deyil. Fərqli q dəyərləri üçün ehtimal 1/2 ilə 1 arasında qalır.
Keçmiş Epizodlardan q-ni Öyrənmək
Köhnə şouların videosuna sahibsinizsə, ev sahibinin q dəyərini (qapı seçiminin qərəzini) təxmin edə bilərsiniz. Lakin burada əsas məhdudiyyət: bəzi epizodlar faydasızdır. Siz qapı 1-i seçib keçi aldıqda, ev sahibinin qapı seçimi qərəzi barədə heç bir məlumat vermir. Sadəcə siz əvvəldən maşını seçdiyiniz oyunlardan öyrənirsiniz.
Simulyasiyada 30 epizod test edildi və həqiqi q = 0.8 idi. Bunlardan 10-u informativ oldu. Bayes modelindən istifadə edərək (Beta(1,1) prioru və Bernoulli ehtimalı), NumPyro ilə bu təxmin iki sətirlik koddur. Nəticə: qapı 3 açılsa, dəyişmə ilə qazanma 54.6%, qapı 2 açılsa 86.5% çıxdı. Kiçik nümunə olsa da, trend jəlididir.
Ev Sahibi Tərəfindən Seçim Qiymətləndirilməsi
Çox cəhətli sual: ev sahibi dəyişməyi təklif etmək barəsində də qərar verərsə? Bəyənə biləcəyiniz qapı 1-i seçib maşın aldıysa, o dəyişməyi a ehtimalı ilə təklif edir. Keçi aldıqsa, b ehtimalı ilə təklif edir. Məlumdur ki:
P(dəyişmə ilə qazanma | təklif alındı) = 2b / (2b + a)
a = b = 1 olduqda 2/3 alırsınız. Ancaq a = 1, b = 0 olduqda («Monty from Hell»—sadəcə maşın alan insanları azad etməyə cəhd edir), dəyişmə heç vaxt qazandırmaz. Həqiqi Monty Hall 1991-ci ildə New York Times-a söylədi ki, o heç vaxt dəyişməyi təklif etməyə məcbur deyildi və bunu insanları sınamaq üçün istifadə etdi.
Seçim Mexanizmi Və Statistika
Teleskop sorğuları yalnız cəhallətə kifayət qədər parlaq olan cisimlərini tutur. Onu unutsanız, solğun populyasiyalar statistikadan yox olur və nəticələr qərəzli çıxır (Malmqvist qərəzi). Tibbidə bunu «Survivorship bias» deyirlər. Monty Fall bu problemin eng sadə şəklidir. Beləliklə, məlumatlar nə deyirsinə baxmazdan əvvəl, onlar sizə necə çatdığını soruşun. Bu Monty Hall probleminin ən dərin dərsidir.
Mənbə: Towards Data Science